Vad säger förstaderivatan om grafen
Andraderivatan
I detta förra avsnittet, var oss gick igenom hur oss kunde avgöra karaktären från enstaka funktions extremvärden utifrån ett funktions derivata, såg oss hur oss är kapabel att fatta beslut eller bestämma något angående enstaka punkt var funktionens derivata existerar noll existerar enstaka extrempunkt (maximipunkt alternativt minimipunkt) alternativt enstaka terrasspunkt.
oss gjorde detta genom för att undersöka derivatans indikator inom något som ligger nära eller är i närheten punkter.
Dock innebar denna teknik enstaka hel sektion räknearbete. Därför existerar detta ju rimligt för att undra ifall detta ej finns något enklare sätt för att komma fram mot vilken typ från punkter detta rör sig angående, annat än för att titta direkt vid funktionens graf samt försöka att fatta beslut eller bestämma något frågan därifrån (vilket ej ständigt existerar ett pålitlig metod).
Som tur existerar till oss finns detta ett teknik vilket förenklar detta sysselsättning enstaka hel del.
Vi äger tidigare lärt oss hur oss är kapabel anlända fram mot en formulering på grund av enstaka funktions derivata utifrån enstaka given funktion.
Detta gjorde oss genom för att följa dem deriveringsregler liksom gått för att härleda ifrån derivatans definition.
Funktionens andraderivata får oss genom för att derivera den ursprungliga funktionen numeriskt värde gånger. oss kunna nyttja andraderivatan till för att t ex besluta hur enstaka kurva böjer sig, ifall enstaka extrempunkt antar en maximivärde alternativt minimivärde, hitta s k inflexionspunkter, samt vid därför sätt konstruera grafer.
inom samtliga fall tittar oss vid andraderivatans indikator alternativt teckenväxlingar kring ett viss punkt.
Anta för att oss besitter funktionen \(f(x) = 4x^2 +3x-6\) och tillsammans önskar besluta andraderivatan. oss börjar då tillsammans med för att derivera funktionen inledande gången samt får
$$f'(x) = 8x+3$$
Därefter deriverar oss enstaka gång mot samt får
$$f''(x) = 8$$
Funktionens derivata (förstaderivata) mot \(f(x)\) betecknas vilket oss sett \(f'(x)\).
Följaktligen betecknas andraderivatan \(f''(x)\) samt uttalas "f bis från x". Genom för att nyttja andraderivatan förmå oss alltså bl a att fatta beslut eller bestämma något hur ett kurva böjer sig. angående detta existerar ett konvex alternativt konkav graf (kurva).
Exempel 1:
Bestäm andraderivatan \(f''(x)\) om
- \(f(x) = x^3+7x^2-x+2\)
- \(g(x) = x^2 -e^{2x}\)
Lösningar
- \(f(x)\) deriveras ursprunglig ett gång samt oss får
$$f'(x)= 3x^2+14x-1$$
och sålunda deriverar oss ytterligare enstaka gång till för att få
$$f''(x) = 6x+14$$
Svar: \(f''(x) = 6x+14\) - På liknande sätt deriveras \(g(x)\) numeriskt värde gånger,
$$g'(x) = 2x-2e^{2x}$$
och sedan
$$g''(x) = 2-2\cdot 2e^{2x} = 2-4e^{2x}$$
Svar: \(g''(x) =2-4e^{2x} \)
Konkav samt konvex graf
Vi bör för tillfället titta vid hur oss kommer fram mot för att enstaka funktion existerar konkav alternativt konvex.
Vi väljer till enkelhetens skull för att analysera numeriskt värde andragradsfunktioner.
Konkav graf
Betrakta figuren nedan vilket visar enstaka andragradsfunktion \(f(x)\) tillsammans med negativ parabel inom en intervall.
Kännetecknande på grund av enstaka sådan existerar för att koefficienten framför \(x^2\) termen existerar negativ.
På sålunda sätt får funktionen även enstaka global maximipunkt \(x = a\) inom intervallet.
Vi ser för att funktionen \(f(x)\) existerar strängt något som ökar i storlek eller antal fram mot maximipunkten V (\(x = a\)) därefter strängt avtagande.
Det innebär för att derivatan \(f'(x)\) existerar positiv fram mot \(x = a\), noggrann nära \(x = a\) existerar \(f'(x) = 0\) samt därefter existerar \(f'(x)\) negativ.
detta betyder för att \(f'(x)\), likt ju existerar lika tillsammans tangenternas lutning, reducerar inom intervallet. Detta medför inom sin tur för att andraderivatan måste existera negativ dvs \(f''(x) < 0\) inom intervallet. Den globala maximipunkten inom intervallet uppträder var \(f'(x) = 0\) samt \(f''(x) < 0\).
Vi ser för att tangenterna ligger ovan grafen, då benämnes grafen konkav.
Konvex graf
I figuren nedan ser oss enstaka andragradsfunktion tillsammans med positiv parabel.
Kännetecknande till enstaka sådan existerar för att koefficienten framför x2 termen existerar positiv. vid därför sätt får funktionen enstaka global minimipunkt inom intervallet.
Vi ser för att funktionen \(f(x)\) existerar strängt avtagande fram mot minipunkten M (\(x=a\)) samt därefter strängt växande.
Det innebär för att derivatan \(f'(x)\) är negativ fram mot \(x=a\), noggrann nära \(x=a\) är \(f'(x)=0\) och därefter existerar \(f'(x)\) positiv.
detta betyder för att \(f'(x)\), såsom ju existerar lika tillsammans tangenternas lutning, ökar inom intervallet. Detta medför inom sin tur för att andraderivatan måste existera positiv dvs \(f''(x) > 0\) i intervallet. Den globala minimipunkten inom intervallet uppträder var \(f'(x) = 0\) och \(f''(x) > 0\).
Vi ser för att tangenterna ligger beneath grafen, då benämnes grafen konvex.
Inflexionspunkt
Grafen mot enstaka funktion \(f(x)\) kunna titta ut likt figuren nedan visar.
Funktionen existerar något som ökar i storlek eller antal inom intervallet \(0\leq x \leq 2\).
För för att hålla reda vid ifall grafen existerar konvex alternativt konkav är kapabel oss dra sekanter längs grafen. var sekanten hamnar beneath grafen, existerar grafen konkav. var sekanten hamnar ovan grafen, existerar grafen konvex.
oss noterar även för att funktionen äger ett s k inflexionspunkt var grafen förändras ifrån för att artikel konkav mot för att bli konvex. Då funktionen förändras ifrån för att existera konkav mot för att bli konvex inom inflexionspunkten, således byter även andraderivatan indikator ifrån för att existera negativ mot för att bli positiv. detta medför för att andraderivatan \(f''(x) = 0\) i inflexionspunkten.
Viktigt för att notera!
till vissa funktioner kunna \(f''(x) = 0\) utan för att detta existerar ett inflexionspunkt. Då får oss analysera teckenväxlingen nära den tänkta inflexionspunkten samt även analysera grafens utseende.
Exempel 2:
Funktionen \(f(x) = 2x^4-2x^3\) äger inflexionspunkter. Bestäm koordinaterna på grund av dessa punkter samt bestäm dem intervall var funktionen existerar konvex.
Lösning: Inflexionspunkter uppträder var andraderivatan existerar noll, \(f''(x) = 0\) därför oss börjar tillsammans för att besluta \(f''(x)\)
$$f'(x) = 4\cdot 2x^3 -6x^2 = 8x^3-6x^2$$
$$f''(x) = 24x^2-12x$$
Vi bestämmer därefter andraderivatans nollställen
$$24x^2-12x = 0$$
$$x(24x-12)= 0$$
$$x_1=0$$
$$x_2 = \frac{1}{2}$$
Punkternas koordinater blir
$$f(0)=0$$
$$f(\frac{1}{2}) = 2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^4- 2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3 = -\frac{1}{8}$$
Alltså \((0,0)\) samt \(\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{8}\right)\)
För för att avgöra dem intervall var funktionen existerar konvex utför oss ett teckenstudie nära dem tänkta inflexionspunkterna samt tittar igen vid andraderivatan \(f''(x)= 24x^2-12x\) samt får
Om \(x<0 \rightarrow f''(x) \) blir positiv
Om \(x>\frac{1}{2} \rightarrow f''(x) \) blir positiv
Om \(0<x<0\frac{1}{2} \rightarrow f''(x) \) blir negativ
Vi äger alltså teckenväxling vid båda sidor ifall punkterna samt dem existerar då inflexionspunkter, oss ställer upp ett teckentabell
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) |
| \(f''(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f(x)\) | \(0\) | \(-\frac{1}{8}\) |
Vi besitter alltså teckenväxling vid båda sidor ifall punkterna \(x= 0\) \(x= \frac{1}{2}\) och dem existerar då inflexionspunkter.
Konvex graf får oss var \(f''(x)\) är positiv dvs till \(x<0\) samt \(x>\frac{1}{2}\).
Svar:
Punkternas koordinater \((0,0)\) samt \(\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{8}\right)\)
Konvex graf på grund av \(x<0\) samt \(x>\frac{1}{2}\)
Lokala extrempunkter tillsammans med hjälp från andraderivatan
Att ett fåtal fram ett funktions derivata förmå vandra mot vid nästa sätt, utifrån dem kända deriveringsreglerna, vilket tillämpas vid ett exempelfunktion:
$$f(x)=x^{3}-3x^{2}$$
Derivatan på grund av denna tredjegradsfunktion existerar känd:
$$\\f'(x)=3x^{2}-6x$$
Vi identifierar x-värdena till tänkbara extrempunkter genom för att sätta derivatan lika tillsammans med noll samt sedan åtgärda ekvationen vilket uppkommer:
$$0=3x^{2}-6x\Rightarrow x_{1}=0,\: x_{2}=2$$
Eftersom oss hittade numeriskt värde x-värden, finns detta numeriskt värde tänkbara extrempunkter för att undersöka.
Har oss funnit numeriskt värde punkter likt existerar maximi-, minimi- alternativt terrasspunkter?
oss förmå även inom fortsättningen nyttja oss från teckenstudium, dock den på denna plats gången bör oss testa enstaka förbättrad metod:
Om oss deriverar uttrycket på grund av funktionens derivata ytterligare enstaka gång, då kommer oss fram mot en nytt formulering likt oss kallas funktionens andraderivata (därför för att oss deriverat funktionen numeriskt värde gånger - funktionens derivata, alltså då oss bara äger deriverat enstaka gång, kallas även funktionens förstaderivata).
för att derivera uttrycket till funktionens derivata följer identisk deriveringsregler liksom oss tidigare använt:
$$\\f'(x)=3x^{2}-6x$$
$$\\f''(x)=6x-6$$
Uttrycket till funktionens andraderivata
$$f''(x)$$
uttalas "f bis x".
När oss idag äger en formulering på grund av denna funktions andraderivata är kapabel oss sätta in våra tidigare funna x-värden inom andraderivatan.
Beroende vid vilket värde oss får ut från andraderivatan till plats samt en från dessa x-värden, förmå oss dra olika slutsatser angående om punkterna existerar maximi-, minimi- alternativt terrasspunkter:
Är förstaderivatan lika tillsammans noll inom ett punkt, då existerar punkten ett maximi-, minimi- alternativt terrasspunkt - vilken från dessa beror vid värdet vid andraderivatan i enlighet med följande:
Maximipunkt
$$f''(x)<0$$
Om andraderivatan existerar negativ på grund av detta aktuella x-värdet existerar detta en maximivärde inom punkten.
oss säger för att funktionen existerar konkav.
Minimipunkt
$$f''(x)>0$$
Om andraderivatan existerar positiv till detta aktuella x-värdet existerar detta en minimivärde inom punkten. oss säger för att funktionen existerar konvex.
Terrasspunkt
Om funktionen äger enstaka terrasspunkt kommer:
$$f''(x)=0$$
Observera för att andraderivatan är kapabel existera lika tillsammans med 0 inom enstaka extrempunkt utan för att detta existerar ett terrasspunkt.
Vi tittar vid nästa exempel
$$f(x)=x^{4}$$
har en ytterläge på grund av x=0 vilket ger enstaka andraderivata där:
$$f''(0)=0$$
Lägg symbol mot för att extremvärdet till denna funktion ej existerar ett terasspunkt, inom detta denna plats fallet ger andraderivatan alltså ej tillräckligt tillsammans med resultat angående funktionens ytterläge.
Slutsatsen oss är kapabel dra från detta på denna plats existerar för att angående oss får andraderivatan mot 0 till enstaka extrempunkt, måste oss utföra ett teckentabell till för att att fatta beslut eller bestämma något angående extrempunkten existerar en lokalt maximi-, minimi- alternativt terrasspunkt.
Nu går oss igen mot tredjegradsfunktionen \( f(x)=x^{3}-3x^{2} \).
oss provar för att sätta in dem aktuella x-värdena inom vår exempelfunktions andraderivata \( f''(x)=6x-6 \):
$$f''(0)=6\cdot 0-6=-6$$
$$f''(2)=6\cdot 2-6=6$$
Vi fick för att andraderivatan blev -6 samt 6, alltså är kapabel oss yttra för att den inledande extrempunkten existerar en lokalt maximivärde samt den andra extrempunkten en lokalt minimivärde.
Exempel 3:
Bestäm koordinaterna inom dem tänkbara inflexionspunkterna på grund av funktionen \(f(x) = 2x^4-3x^3+6\).
Bestäm även inom vilka intervall funktionen existerar konvex respektive konkav.
Lösning: Vi kalkylerar \(f''(x) = 0\) till för att hitta tänkbara inflexionspunkter
$$f'(x)= 8x^3-9x^2$$
$$f''(x)=24x^2-18x$$
$$24x^2-18x=6x(4x-3) =$$
$$x_1 = 0$$
$$x_2 = \frac{3}{4}$$
Vi kalkylerar koordinaterna direkt
$$f(0) = 6$$
$$f(\frac{3}{4}) = 5,37$$
Teckenstudie:
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{3}{4}\) | \(1\) |
| \(f(x)\) | \(6\) | \(5,37\) | |||
| \(f''(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| konvex | konkav | konvex |
Svar:
Koordinater inflexionspunkter: \((0,6)\) samt \(\left(\frac{3}{4};5,37\right)\)
Konvex till \(x<0\) samt \(x>\frac{3}{4}\)
Konkav till \(0<x<\frac{3}{4}\)
Sammanfattning:
Största alternativt minsta värde inom en intervall:
Lokala maximum alternativt minimum besitter inga större respektive mindre värden inom närheten.
Största alternativt minsta värde till enstaka funktion inom en intervall uppstår inom derivatans nollställen alternativt inom intervallets ändpunkter ifall dem tillhör definitionsmängden.
Konkav samt konvex funktion samt inflexionspunkt:
Om \(f''(a)<0\), därför existerar funktionen \(f(x)\) konkav kring \(x=a\).
Om \(f''(a)>0\), därför existerar funktionen \(f(x)\) konvex kring \(x=a\).
Om funktionen \(f(x)\) besitter enstaka inflexionspunkt på grund av \(x=a\), således existerar \(f''(a) =0\).
Om \(f''(a) =0\) måste teckenväxling från \(f''(x)\) ske inom \(x=a\) på grund av för att existera ett inflexionspunkt.
Extrempunkter samt extremvärden:
Om \(f'(x)=0\) samt \(f''(a)<0\), således äger funktionen ett område maximipunkt på grund av \(x=a\).
Om \(f'(x)=0\) och \(f''(a)>0\), sålunda äger funktionen enstaka plats minimipunkt på grund av \(x=a\).
Om \(f'(x)=f''(x)=0\) , måste oss utföra teckenstudie från förstaderivatan till att avgöra typ från extrempunkt (maximipunkt, minimipunkt, alternativt terrasspunkt).