Hur många timmar är matte 3bc på

I en tidigare segment såg oss hur oss kunna hitta primitiva funktioner utifrån enstaka känd funktion. inom detta denna plats avsnittet bör oss visa vid enstaka användbar tillämpning från primitiva funktioner vid en bekymmer vilket återkommer inom olika kontext. oss repeterar på denna plats begreppet integral och lär oss hur oss är kapabel nyttja oss från integraler på grund av areaberäkningar.

Integraler går för att nyttja på grund av för att beräkna andra saker liksom längd massa, volym, flöde samt andra tillämpningar inom fysik, dock oss kommer fokusera vid area.

Vi börjar tillsammans med begreppet integraler, primär ser enstaka integral ut vilket följande

$$\int f(x) \; dx$$

Vi äger inledningsvis integraltecknet (tecknet fanns ifrån start enstaka beteckning från ett summa, därför då ni bör rita detta således kunna ni tänka dig för att detta existerar en långt utdraget S) samt sedan ett funktion, vars primitiva funktion oss idag behöver hitta, integraltecknet ber oss leta fram den.

Sista delen existerar dx, oss kommer ej vandra in vid dess innebörd intensiv, dock den säger oss för att oss bör integrera enstaka funktion vid en intervall från x-värden. detta på denna plats uttrycket utläses ” integralen från f från x, d x”. Helt generellt existerar svaret följande på enstaka integral ett primitiv funktion, glöm ej +C!

$$\int f(x) \; dx = F(x) $$

Vi tittar vid en exempel 

$$\int 6x +3 \; dx $$

Svaret kommer artikel primitiva funktionen mot 6x +3.

ifrån tidigare avsnittet vet oss hur oss hittar denna primitiva funktion, således oss får

$$\int 6x +3 \; dx = 3x^2 +3x +C $$ 

Nu går oss vidare mot nästa steg inom beräkningar från integraler. oss önskar beräkna arean beneath ett graf samt tidigare besitter oss sett för att oss kunna dela in arean inom enkla geometriska figurer. såsom inom grafen nedan sålunda kunna oss dela in arean beneath den räta sträcka inom ett rektangel tillsammans med basen 0 ≤ x ≤ 2 samt höjden 0 ≤ y ≤ 1 samt sedan enstaka triangel ovanpå, tillsammans med höjden 4 måttenheter samt identisk bas 0 ≤ x ≤ 2 .

Arean blir därför \(\frac{4\cdot 2}{2}+2 = 6\) areaenheter.

Men vad fullfölja oss angående funktionen likt skapar detta geometriska området ej existerar begränsat från ett rät linje alternativt ger oss andra enkla geometriska figurer? då oss kalkylerar integralen från enstaka funktion sålunda motsvarar detta för att oss beräknar arean mellan grafen samt x-axeln.

Nu tittar oss vid hur denna areaberäkning tillsammans hjälp från integraler går mot. oss börjar tillsammans för att titta vid arean beneath den räta linje ovan, var oss kunde dela upp arean inom geometriska former vilket oss enklare kunde beräkna samt fick för att arean blev 6 areaenheter.

Vi kunna bekräfta för att detta kommer artikel 6 areaeneheter då oss använder ett integral också.

Vi besitter nästa funktion inom grafen

$$f(x)=2x+1$$

och existerar intresserade från för att känna till arean från detta region liksom ligger mellan grafen samt x-axeln, samt såsom begränsas från dem lodräta linjerna x=0 samt x=2.

Det finns ett generell formel, vilket heter integralkalkylens fundamentalsats till kalkyl från denna typ från integraler likt då ger oss arean beneath kurvan samt x-axeln inom intervallet a ≤ x ≤ b:

$$\int_{a}^{b}f(x)\; dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b)-F(a)$$

Viktigt för att notera existerar för att funktionen \(f(x)\) måste artikel ett kontinuerlig funktion samt den primitiva funktionen bör existera deriverbar samt dess derivata sammanträffar tillsammans med \(f(x)\) vid intervallet, detta villl yttra  \(F'(x)=f(x)\).

idag tittar oss närmare vid satsen samt vilket den innebär.

I detta vänstra ledet besitter oss inledningsvis integraltecknet

$$\int $$

Talen a samt b anger den undre respektive den övre gränsen (integraltecknet läses alltså nedifrån samt upp) på grund av detta region såsom oss existerar intresserade från (i vårt modell existerar a=0 samt b=2).

mot motsats till vänster ifall integraltecknet tillsammans med dess gränser kommer den funktion liksom utgör områdets övre gräns. senaste inom vänstra ledet kommer dx, likt på denna plats anger för att areaberäkningen bör ske tillsammans avseende vid förändring inom x-led.

I detta högra ledet anges differensen

$$F(b)-F(a)$$

Detta existerar alltså differensen mellan värdet vid den primitiva funktion F nära den övre gränsen (x=b) samt den undre gränsen (x=a).

Det existerar många nytt vilket kommer vid ett gång tillsammans med denna formel, därför detta enklaste existerar för att gå vidare tillsammans vårt exempel:

Vi äger alltså den kända funktionen f(x)=2x+1 samt oss känner mot den undre gränsen nära a=0 samt den övre gränsen nära b=2.

Därmed förmå oss ställa upp detta vänstra ledet inom formeln, såsom inom vårt modell ser ut sålunda denna plats (vi tar inom detta på denna plats fallet uttryckligen tillsammans med för att integralen utgör enstaka area, A):

$$A=\int_{0}^{2}(2x+1)\; dx$$

I formelns högra led ingår den primitiva funktionen F, vilket oss ej känner mot än, därför inom nästa steg får oss beräkna den, vilket oss utför utifrån dem regler liksom oss kom fram mot inom detta förra avsnittet.

oss får följande:

$$F(x)=x^{2}+x+C$$

När oss bör beräkna integralen skriver oss vanligen uträkningen vid nästa sätt:

$$\int_{a}^{b}f(x)\; dx = \left [ F(x) \right ]_a^b$$

vilket inom vårt modell blir

$$\int_{0}^{2}(2x+1)\; dx = \left [ x^2+x \right ]_0^2$$

Som ni möjligen upptäckte inom formeln ovan, bortsåg oss ifrån konstanttermen C då oss skrev ut högerledet.

Anledningen mot detta existerar för att denna begrepp ändå kommer för att försvinna eftersom den finns tillsammans med inom såväl F(b) likt F(a). ni förmå testa för att ta tillsammans C samt titta hur detta försvinner angående ni önskar, dock beräkningen blir bara längre samt krångligare, oss kunna visa hur detta skulle titta ut.

$$A=\int_{0}^{2}(2x+1)\; dx = \left [ x^2+x + C \right ]_0^2=$$

$$=(2^{2}+ 2 + C)-(0^{2}+ 0 +C)=$$

$$=4+2+C-C=6 \text{ areaenheter }.$$

Du kunna alltså skippa steget för att äga tillsammans +C angående integralen äger gränser, såsom nära areaberäkningar. oss kunde bekräfta för att den sökta arean existerar 6 areaenheter.

---

I exemplet ovan ägde oss ett funktion vars graf inom kurera intervallet nedsänkt ovanför x-axeln.

Därmed nedsänkt läka detta sektor likt oss skulle beräkna arean vid ovan x-axeln.

Vad sker tillsammans våra beräkningar ifall funktionen skulle äga negativa värden inom intervallet samt arean vilket beräknas inom därför fall ligger beneath x-axeln? Jo, då kommer integrationsberäkningar utifrån metoden oss använde ovan för att leda mot en negativt påverkan.

dock enstaka area är kapabel ju ej äga en negativt värde, varför oss måste byta indikator vid integralen angående området oss bör beräkna arean vid ligger beneath x-axeln. detta existerar ej fel ifall ett integral får en negativt svar, dock ifall integralen används till för att beräkna ett area således byter oss indikator. angående oss besitter areor beneath samt ovan x-axeln vilket bör beräknas således förmå oss dela upp integralen.

oss kollar vid några modell.

Beräkna

$$\int_{0}^{1} x^3 -x \: dx$$

Vi använder integralkalylens fundamentalsats samt börjar tillsammans med för att hitta primitiva funktionen

$$\int_{0}^{1} x^3 -x \: dx = \left[ \frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^4}{4}-\frac{ 1^2}{2} \right)- \left( \frac{0^4}{4}-\frac{ 0^2}{2} \right) = \\ = -0,25 -0 = -0,25 $$

Svaret vid beräkningen blir alltså \(-0,25\) samt detta existerar inget fel var, oss ombads ej för att beräkna någon area.

oss kollar vid en modell vid just kalkyl från area nu.

Nedan ser oss grafen till \(f(x) = x^2-8x -2\), beräkna den skuggade arean.

Vi ställer upp samt kalkylerar integralen på grund av f(x) ifrån 0 mot 6.

$$\int_{0}^{6}x^2-8x-2 \; dx=\left[ \frac{x^3}{3}-4x^2-2x \right]_{0}^{6}=\left( \frac{6^3}{3}-4\cdot 6^2 - 2\cdot 6 \right)-(0) = \\ = 72-144-12 = -84$$

Svaret blev negativt, dock oss förmå ej äga enstaka negativ area.

Arean blir därför 84 areaenheter

Nästa modell kommer oss behöva tänka annorlunda. Bilden visar grafen \(f(x) = x^3-4x\)  och oss bör beräkna den skuggade arean.

Om oss bara kalkylerar integralen ifrån -2 mot 2 kommer oss erhålla svaret 0 på grund av för att areorna existerar lika stora dock en blir negativ.

således oss är kapabel antingen beräkna inledningsvis ifrån -2 mot 0 samt sen ifrån 0 mot 2, byta indikator samt lägga ihop dem. inom detta fall existerar detta enklare för att beräkna ifrån 0 mot 2, byta indikator samt dubbla svaret. inom något annat fall ifall areorna ej skulle existera lika stora existerar detta bäst för att dela upp intervallen samt beräkna ett area inom taget.

$$\int_{0}^{2} x^3 -4x \; dx = \left[\frac{x^4}{4}-2x^2 \right]_{0}^{2} = \frac{16}{4}-8 - 0 = -4$$

Så arean liksom plats skuggad inom grafen blir alltså \(2 \cdot 4 = 8\) areaenheter.

Nedan besitter oss enstaka interaktiv graf ifrån GeoGebra till för att illustrera hur integraler kalkylerar area.

Byt gärna värden vid avgränsningar, byt funktion samt titta vilket likt förändras då ni visar dess primitiva funktion vilket graf samt visar beräkningen från integralen 

Sammanfattning 

Integralkalkylens fundamentalsats säger för att angående f(x) existerar definierad inom intervallet samt F existerar ett primitiv funktion mot f(x) (det önskar yttra för att F existerar deriverbar samt för att \(F'(x) = f(x) \) ) sålunda gäller detta att 

$$\int_{a}^{b}f(x)\; dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b)-F(a)$$

Integralen motsvarar arean mellan kurvan samt x-axeln inom intervallet a ≤ x ≤ b