Bestäm lutningen k för en linje genom

Räta linjens ekvation beskriver en linjärt samband mellan numeriskt värde variabler, \(y\) samt \(x\). sträcka ritas vilket linjär linje inom en koordinatsystem.

Räta linjens ekvation skrivs

$$y=kx+m$$

Där \(k\) samt \(m\) existerar konstanter liksom avgör sambandet mellan variablerna \(x\) samt \(y\).

Konstanten \(k\) anger linjens lutning samt \(m\) anger nära vilket värde såsom linje skär y-axeln, då \(x=0\).

Exempel 1

Antag för att konstanterna \(m=5\) samt \(k=1\). Denna räta linjes ekvation är:

$$y=1\cdot x+5=x+5$$

Exempel 2

Den räta linje \(y=2x+3\) äger nästa graf:

Linjen skär y-axeln nära \(y=3\), likt oss kunna studera från via m-värdet, då \(x=0\).

Lutningen \(k\) hittas genom för att analysera hur stegen inom x-led förhåller sig mot stegen inom y-led.

på grund av varenda steg inom x-led tas numeriskt värde steg inom y-led till varenda punkt längs linjen.

k-värdet \(2\) innebär enstaka ökning från x-värdet tillsammans \(1\) samt enstaka ökning från y-värdet tillsammans med \(2\). på grund av varenda steg \((+1)\) inom x-led tas \(k\) steg inom y-led.

Den räta linje \(y=-2x+4\) äger nästa graf:

k-värdet \(-2\) innebär ett ökning från x-värdet \((A-B)\) samt enstaka minskning från y-värdet \((B-C)\) tillsammans med \(2\).

Konstanterna \(k\) samt \(m\)

Konstanten \(k\) kallas riktningskoefficient samt betecknar lutningen vid sträcka.

en positivt k-värde ger ett linje såsom lutar snett uppåt åt motsats till vänster inom koordinatsystemet, alltså för att y-värdet blir större ju större värdet blir vid den oberoende variabeln \(x\).

I figuren ovan ser oss inom mörk den konstanta linje \(y=1\), inom grönt \(y=x\), samt inom rött \(y=3x\).

Ett negativt k-värde ger ett linje liksom lutar snett neråt åt motsats till vänster, samt för att y-värdet blir mindre ju större värdet blir vid den oberoende variabeln.

I figuren ovan ser oss den konstanta linje \(y=1\) inom mörk, den minskande \(y=-x\) inom grönt, samt minskande \(y=-3x\) inom rött.

När \(k=0\) således äger sträcka enstaka horisontell lutning liksom existerar parallell tillsammans x-axeln.

Notera för att ifall \(k=0\) därför kommer ej y-värdet för att artikel beroende från värdet vid den oberoende variabeln – y-värdet kommer då för att artikel detsamma, konstant, oavsett från den oberoende variabelns värde. då k-värdet existerar \(0\), existerar \(y=0x+m\). Vilket existerar identisk sak liksom \(y=m\).

Konstanttermen \(m\) bestämmer fanns linje skär y-axeln.

m-värdet motsvarar y-värdet inom den punkten var \(x=0\), alltså var sträcka skär y-axeln.

När m-värdet existerar positivt skär sträcka y-axeln ovanför origo samt då detta existerar negativt skär sträcka y-axeln beneath origo. då \(m=0\) går genom origo, dvs. punkten \((0,\,0)\).

Exempel 3

Ritar oss linje \(y=x+5\) inom exempel 1 skär y-axeln inom punkten \((0,\,5)\), dvs.

den punkt var \(x=0\) samt \(y=5\).

Räkna ut lutning vid ett rät linje

Givet numeriskt värde punkter vid linje \((x_1, y_1)\) samt \((x_2, y_2)\) således förmå oss tillsammans nästa formel räkna fram lutningen:

$$k=\frac{\text{Förändring i}\;y\text{-led}}{\text{Förändring i}\;x\text{-led}}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Exempel 4

Antag den räta linje \(y=x+5\) tillsammans nästa värdetabell.

\(x\)	\(y\)
0	5
1	6
2	7
3	8
4	9

Välj numeriskt värde slumpmässiga punkter ifrån tabellen, t.ex.

\((0,\,5)\) samt \((3,\,8)\). oss sätter

$$(x_1, y_1)=(0, 5)\;\text{och}\;(x_2, y_2)=(3, 8)$$

Sätt in punkterna inom formeln på grund av för att beräkna k-värdet:

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{8-5}{3-0}=\frac{3}{3}=1$$

Vi vet för att detta stämmer, då funktionen besitter formen \(f(x)=x+5\), dvs. äger \(k=1\).

Räkna ut plats linjer skär \(y\)-axeln

Härnäst bör oss visa numeriskt värde metoder på grund av för att ta reda vid \(m\)-värdet.

Den en metoden kallas på grund av \(k\)-form samt den andra kallas till enpunktsform.

Räkna ut linjens ekvation – 2 punkter givna

När oss äger numeriskt värde punkter till ett rät linje kunna oss avgöra denna räta linjes ekvation \(y=kx+m\), genom för att räkna ut \(k\)-värdet samt \(m\)-värdet.

Exempel

Vi använder identisk modell såsom till \(k\)-värdet.

oss besitter räknat ut \(k\)-värdet mot \(1\), tillsammans med punkterna \((0,\,5)\) samt \((3,\,8)\). oss sätter in \(k\)-värdet inom räta linjens ekvation till för att åtgärda ut \(m\):

$$y=kx+m=1\cdot x+m=x+m$$

$$m=y-x$$

Vi vet numeriskt värde punkter vid linje, oss väljer någon från dem samt sätter in inom ekvationen. oss får för tillfället enstaka ekvation tillsammans endast enstaka variabel, vilket oss är kapabel åtgärda.

Exempelvis punkten \((3,\,8)\):

$$m=8-3=5$$

Konstanterna existerar för tillfället beräknade mot \(k=1\) samt \(m=5\). Vår räta linjens ekvation är:

$$y=kx+m=1\cdot x+5=x+5$$

Linjens ekvation existerar \(y=x+5\)

Exempel

I nästa geogebra - graf är kapabel man analysera lutningen (\(k\)-värde) samt skärning tillsammans \(y\)-axeln (\(m\)-värde) genom för att dra inom glidarna samt flytta punkterna (\(\color{Blue}{\text{A}}\) samt \(\color{Blue}{\text{B}}\)) liksom kalkylerar \(k\).

Linjens ekvation inom enpunktsform

När oss känner mot \(k\)-värdet samt enstaka punkt på grund av ett rät linje förmå oss besluta denna räta linjes ekvation tillsammans hjälp från enpunktsformen:

$$y-y_1=k(x-x_1)$$

Exempel

Med identisk exempellinje såsom tidigare äger oss \(k=1\) samt punkten \((x_1,y_1)=(3, 8)\).

till samtliga punkter längs den räta linje gäller sambandet

$$k=\frac{y-y_1}{x-x_1}\Rightarrow 1=\frac{y-8}{x-3}$$

Multiplicera upp divisor. detta ger räta linjens ekvation inom enpunktsform.

$$1\cdot(x-3)=y-8$$

Räta linjens ekvation inom \(k\)-form fås genom för att åtgärda ut \(y\)

$$y=x-3+8=x+5$$

Proportionalitet

Om ekvationen \(y=kx+m\) saknar \(m\)-värde, dvs.

\(m=0\), skrivs den räta linjen

$$y=kx$$

Detta specialfall kallas proportionalitet. detta betyder för att dem numeriskt värde variablernas förhållande existerar konstant. Man säger för att \(y\) motsvarar enstaka konstant multipel från \(x\). ifall linje existerar proportionell sålunda existerar \(k=\frac{y}{x}\). (\(k\) kunna existera positiv alternativt negativ)

T.ex.

ifall man köper enstaka artikel liksom kostar \(a\) kr/kg beräknas kostnaden tillsammans med \(y=ax\). \(x\)-axeln representerar antal kg från varan samt kostnaden vid \(y\)-axeln.

Räta linjens ekvation inom allmän form

Den allmänna formen existerar \(ax+by+c=0\) var både \(a\) samt \(b\) existerar skilda ifrån \(0\).

ifall man dividerar båda sidor tillsammans med \(b\) samt ändrar bostadsort \(ax\) mot vänstersidan erhålles \(y=(-ax)/b-c/b\) detta medför att
$$k=-\frac{a}{b}\, \text{och}\;m=-\frac{c}{b}$$